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Un hombre ejecutivo destinado temporalmente en Paris por negocios, recibe
una carta de su novia desde Chile
La carta decía lo siguiente:
Querido Alejandro:
...
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0 en matemáticas, 10 en humor
en día chistoso hacen una recopilación de exámenes de humor en matemáticas
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La fuerza bruta matemática
El uso de la fuerza bruta en matemáticas es realizar operaciones sin utilizar fórmulas para mejorar la eficiencia. Por ejemplo, si te pidieran contar los asientos en un salón de clases donde estos estén acomodados en una cuadrícula perfecta, lo más fácil sería contar las filas y columnas para luego realizar una multiplicación sencilla; en este caso una persona se dice que usa fuerza bruta cuando cuenta uno por uno los asientos.
El uso de la fuerza bruta
Muy raramente usamos fórmulas para contar cosas pequeñas que por ejemplo no superan los 20 elementos (frutas, panes, monedas), en este caso estamos usando 'fuerza bruta' aunque realmente no necesitemos optimizar el conteo; sin embargo en cantidades mayores es prácticamente imposible utilizar formas rudimentarias de conteo, en ese momento es cuando necesitamos de la matemática.
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Permutaciones y combinaciones
Un tema bastante complicado al entrar a ver combinatoria es la diferencia entre permutaciones y combinaciones. Antes de ver este tema conviene saberse usar los factoriales (más que conveniencia es indispensable).
nPr = n!/(n-r)!
(permutaciones de n en r es igual a factorial de n sobre el factorial de n menos r). Donde 'n' es el total de elementos en el conjunto, y 'r' es número de elementos en los subconjuntos que contaremos.
Ejemplos
Las permutaciones se utilizan para contar arreglos con cada uno de los elementos distintos:
¿De cuántas formas se pueden sentar 6 personas en 10 asientos?
Como cada persona es diferente tenemos que la respuesta es 10P6=151200, donde 10 es el número total de elementos en el conjunto, y 6 el número de elementos en los subconjuntos que podemos seleccionar.
(las combinaciones de n en r es igual a n factorial, sobre n menos r factorial, por r factorial).
Como dato adicional nC0 (combinaciones de n en 0) es siempre igual a 1, lo que llamaremos 'conjunto vacío'. Otro dato interesante es que nCn es también siempre igual a 1, es un conjunto 'completo'.
Ejemplos
En las combinaciones, el orden de los objetos seleccionados no es tomado en el conteo, por lo cual son notablemente menores que en las permutaciones (para ser más precisos (n-r)! veces menos).
¿Cuantos comités de 3 personas se pueden formar si se puede seleccionar entre 5 personas?
En este ejemplo, debes notar que el comiré Ana,Beto,Carlos es igual al comité Beto,Carlos,Ana y al comité Carlos,Beto,Ana y a otras permutaciones similares, por lo cual tendremos que dividir también entre (n-r)!; aunque para facilitarnos la respuesta podemos simplemente utilizar la fórmula para las combinaciones; 5C3=10. Entonces la respuesta es "Se pueden formar 10 comités distintos".
Permutaciones
Las permutaciones son la cantidad de arreglos diferentes dentro de un conjunto. Se debe notar que en las permutaciones el orden sí importa. Puedes obtener las permutaciones con la fórmulanPr = n!/(n-r)!
(permutaciones de n en r es igual a factorial de n sobre el factorial de n menos r). Donde 'n' es el total de elementos en el conjunto, y 'r' es número de elementos en los subconjuntos que contaremos.
Ejemplos
Las permutaciones se utilizan para contar arreglos con cada uno de los elementos distintos:
¿De cuántas formas se pueden sentar 6 personas en 10 asientos?
Como cada persona es diferente tenemos que la respuesta es 10P6=151200, donde 10 es el número total de elementos en el conjunto, y 6 el número de elementos en los subconjuntos que podemos seleccionar.
Combinaciones
Las combinaciones son la cantidad de subconjuntos con r elementos dentro de un conjunto con n elementos. Las combinaciones se diferencían a las permutaciones en que en las combinaciones no importa el orden, es decir la combinacion ABC es igual a BCA y a ACB.nCr=n!/(n-r)!r!
(las combinaciones de n en r es igual a n factorial, sobre n menos r factorial, por r factorial).
Como dato adicional nC0 (combinaciones de n en 0) es siempre igual a 1, lo que llamaremos 'conjunto vacío'. Otro dato interesante es que nCn es también siempre igual a 1, es un conjunto 'completo'.
Ejemplos
En las combinaciones, el orden de los objetos seleccionados no es tomado en el conteo, por lo cual son notablemente menores que en las permutaciones (para ser más precisos (n-r)! veces menos).
¿Cuantos comités de 3 personas se pueden formar si se puede seleccionar entre 5 personas?
En este ejemplo, debes notar que el comiré Ana,Beto,Carlos es igual al comité Beto,Carlos,Ana y al comité Carlos,Beto,Ana y a otras permutaciones similares, por lo cual tendremos que dividir también entre (n-r)!; aunque para facilitarnos la respuesta podemos simplemente utilizar la fórmula para las combinaciones; 5C3=10. Entonces la respuesta es "Se pueden formar 10 comités distintos".
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Los factoriales
Para cualquier número natural (entero positivo, generalmente denotado por N) el n factorial o también dicho factorial de n es la multiplicación de todos los números naturales hasta n (excluyendo al 0). Este se denota por
Como dato extra, el 0! = 1 para fines prácticos.
5! = 1*2*3*4*5 = 120
20! = 1*2*3*...*18*19*20 = 2,432,902,008,176,640,000
0! = 1
1. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar 8 personas en 8 asientos?
Solución. Podemos notar, que para el primer asiento podemos elegir a cualquiera de las 8 personas para sentarla, y que para el segundo asiento ya solo podremos elegir entre las 7 restantes así que hasta ese punto las opciones son 8*7, si continuamos al tercer asiento nos quedarán solo 6 personas disponibles y así sucesivamente hasta el último asiento; por lo que la respuesta está dada por 8*7*6*5*4*3*2*1 = 8! = 40320
n! =1*2*3*...*n
Como dato extra, el 0! = 1 para fines prácticos.
Ejemplos
7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 5,0405! = 1*2*3*4*5 = 120
20! = 1*2*3*...*18*19*20 = 2,432,902,008,176,640,000
0! = 1
Utilización práctica
Los números factoriales se utilizan mucho en problemas de combinatoria, además de requerirlos para fórmulas más complicadas como es el teorema de binomio de Newton. Los ejemplos más básicos solo requieren la 'acomodación' simple.1. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar 8 personas en 8 asientos?
Solución. Podemos notar, que para el primer asiento podemos elegir a cualquiera de las 8 personas para sentarla, y que para el segundo asiento ya solo podremos elegir entre las 7 restantes así que hasta ese punto las opciones son 8*7, si continuamos al tercer asiento nos quedarán solo 6 personas disponibles y así sucesivamente hasta el último asiento; por lo que la respuesta está dada por 8*7*6*5*4*3*2*1 = 8! = 40320
Descargas
Programa que resuelve factoriales
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Acerca de
neomath es un weblog de anotaciones matemáticas que nace como cuaderno de apuntes al momento de participar en la Olimpiada Matemática Mexicana (que comenzaré a decir OMM para abreviar). Esta bitácora inicia tal como lo conoces el 2 de junio de 2009.
Creo haber escucha una frase similar a esa en algún lado, busque por internet la original pero no la encontré así que hice una paráfrasis (por cierto, cambié de ejemplo ya que me parece que anteriormente era una bola de cristal y no un telescopio).
Sobre el autor
Mi nombre es Francisco Bórquez, soy estudiante de preparatoria en México (en Sinaloa para los paisanos). Me gustan las matemáticas en general aunque en ocasiones la matemática me parece tediosa e incluso aburrida, pero es realmente útil y fascinante cuando la conoces, tanto que podríamos decir con toda seguridad que:La matemática es como un telescopio, por una lado no puedes distinguir nada y todo te parece más complicado, pero del lado correcto puedes ver más lejos, mirar escenarios inimaginables y maravillarte con lo que puedes aprender
Creo haber escucha una frase similar a esa en algún lado, busque por internet la original pero no la encontré así que hice una paráfrasis (por cierto, cambié de ejemplo ya que me parece que anteriormente era una bola de cristal y no un telescopio).
